Themenschwerpunkte

Freie Randwertprobleme

Die Kopplung von PDGs im Volumen mit geometrischen Größen der Grenzfläche macht die Verwendung schwacher Lösungsbegriffe und Methoden der Geometrischen Maßtheorie nötig. Wir konnten so die Existenz schwacher Lösungen für ein gekoppeltes Navier-Stokes Mullins-Sekerka Problem für Zweiphasen Flüsse zeigen [AbRoe09].

Polarisation biologischer Zellen

Die Bildung stark heterogener Proteinverteilungen ist für viele zellbiologische Prozesse essenziell. Geeignete mathematische Beschreibungen sind zunächst in Form von Reaktions-Diffusionssystemen, die die wechselseitige Beziehung zwischen Prozessen im Innern der Zelle mit solchen auf der Zellmembran berücksichtigen. Rigorose asymptotische Vereinfachungen erlauben die Herleitung effektiver Modelle und die Charakterisierung des qualitativen Verhaltens solcher Systeme.
Ein besonderes Beispiel ist die Konvergenz bestimmter Polarisationsprobleme gegen verallgemeinerte Hindernisprobleme und der Nachweis von Polarisationskriterien [NiRV20,LNRV21,LNRV23].

Variationelle Analyse von Krümmungsenergien

Modelle für biologische Membranen basieren oft auf Canham-Helfrich Krümmungsenergien (mit dem Willmore Funktional als Spezialfall). Im Vergleich zu Phasenseparationsenergien stellt die höhere Ordnung solcher Energien besondere Herausforderungen. Kompaktheitsaussagen können in der Regel nur in Räumen verallgemeinerter Flächen erzielt werden.
Beispiele von Arbeiten in diesem Bereich ist die Minimierung des Willmorefunktionals unter einer Einschlussbedingung in einem äußeren Container, zum Beispiel motiviert durch innere Membranen in biologischen Zellen [MueRoe14].

Phasenfeldmodelle

In vielen Modellen wird der Übergang zwischen verschiedenen Phasen nicht durch eine nieder-dimensionale Trennfläche, sondern eine dünne Übergangsschicht beschrieben. Phasenfeldmodelle aus den Materialwissenschaften sind ein klassisches Beispiel aber auch sogenannte diffuse Approximationen von geometrischen Energien. Eine entscheidende Frage ist nach asymptotischen Reduktionen für verschwindende Dicke der Übergangsschicht. Mit variationellen Methoden (\(\Gamma\)-Konvergenz) und maßtheoretischen Formulierungen (Varifaltigkeiten als verallgemeinerter Begriff von Flächen) konnten wir etwa die Konvergenz der De Giorgi Approximation des Willmore Funktionals beweisen [RoSc06].

Geometrische Flüsse

Die Evolution in Richtung eines steilsten Abstiegs beschreibt eine mögliche Dynamik hin zu Zuständen geringer Energie. Im Falle von Phasenseparations- oder Krümmungsenergien führt dies zum Beispiel auf mittleren Krümmungs- und Willmore-Fluss. Approximationsresultate für solche Flüsse und das Verhalten unter (stochastischen) Störungen haben wir in verschiedenen Arbeiten analysiert [DaHR21,DaKR23].